MBA聯(lián)考數(shù)學(xué)：排列、組合、概率的概念解析

2014-09-17 13:22 | 太奇MBA網(wǎng)

　　排列、組合、概率都與集合密切相關(guān)，在MBA聯(lián)考中都占有重要比重。排列和組合都是求集合元素的個(gè)數(shù)，概率是求子集元素個(gè)數(shù)與全集元素個(gè)數(shù)的比值。

　　以最常見的全排列為例，用S(A)表示集合A的元素個(gè)數(shù)。用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數(shù)字不重復(fù)的九位數(shù)，則每一個(gè)九位數(shù)都是集合A的一個(gè)元素，集合A中共有9!個(gè)元素，即S(A)=9!

　　如果集合A可以分為若干個(gè)不相交的子集，則A的元素等于各子集元素之和。把A分成各子集，可以把復(fù)雜的問題化為若干簡(jiǎn)單的問題分別解決，但我們要詳細(xì)分析各子集之間是否確無(wú)公共元素，否則會(huì)重復(fù)計(jì)算。

　　集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系

　　兩個(gè)集合之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系(以前學(xué)的函數(shù)的概念就是集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系)。如果集合A與集合B存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，則S(A)=S(B)。如果集合B中每個(gè)元素對(duì)應(yīng)集合A中N個(gè)元素，則集合A的元素個(gè)數(shù)是B的N倍(嚴(yán)格的定義是把集合A分為若干個(gè)子集，各子集沒有共同元素，且每個(gè)子集元素個(gè)數(shù)為N，這時(shí)子集成為集合A的元素，而B的元素與A的子集有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，則S(A)=S(B)*N

　　例如：從1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取六個(gè)數(shù)，問能組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)。

　　集合A為數(shù)字不重復(fù)的九位數(shù)的集合，S(A)=9!

　　集合B為數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)的集合。

　　把集合A分為子集的集合，規(guī)則為前6位數(shù)相同的元素構(gòu)成一個(gè)子集。顯然各子集沒有共同元素。每個(gè)子集元素的個(gè)數(shù)，等于剩余的3個(gè)數(shù)的全排列，即3!

　　這時(shí)集合B的元素與A的子集存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則

　　S(A)=S(B)*3!

　　S(B)=9!/3!

　　組合與排列的區(qū)別在于，每一個(gè)組合中的各元素是沒有順序的。無(wú)論這些元素怎樣排列，都只當(dāng)作一種組合方式。所以在計(jì)算組合數(shù)的時(shí)候，只要分步，就意味有次序。取N次，N件物品的N!種排列方式都會(huì)被當(dāng)作不同選法，該選法就重復(fù)計(jì)了N!次。比如10個(gè)球中任取三個(gè)球，取法應(yīng)該是C(10，3)，但如果先從10個(gè)中取一個(gè)，得C(10，1)，再?gòu)?個(gè)中取一個(gè)得C(9，1)，再?gòu)?個(gè)中取一個(gè)得C(8，1)，再相乘結(jié)果成了P(10，3)，結(jié)果增大了3!倍。

　　概率的概念。在有限集合的情況下，概率是子集元素個(gè)數(shù)與全集元素個(gè)數(shù)的比值。在無(wú)限集合的情況下，概率是代表子集的點(diǎn)的面積與代表全集的點(diǎn)的面積的比值。

　　概率分布函數(shù)可以描述概率分布的全貌。離散型的概率分布是一組數(shù)列，計(jì)算事件發(fā)生的概率、數(shù)學(xué)期望和方差都使用數(shù)列的計(jì)算方法。連續(xù)型的概率分布是一個(gè)函數(shù)， 它等于概率密度函數(shù)的積分，計(jì)算事件發(fā)生的概率、數(shù)學(xué)期望和方差都使用積分的計(jì)算方法。

　　概率的概念不難理解，解題能力決定于對(duì)數(shù)列和積分中的方法掌握的熟練程度。