2017年MBA數(shù)學(xué)輔導(dǎo)：極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分

2016-06-02 11:23 | 太奇MBA網(wǎng)

　　極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分的概念

　　極限的概念是整個(gè)微積分的基礎(chǔ)，需要深刻地理解，由極限的概念才能引出連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等概念。極限的概念首先是從數(shù)列的極限引出的。對(duì)于任意小的正數(shù)E，如果存在自然數(shù)M，使所有N》M時(shí)，|A(N)-A|都小于E，則數(shù)列的極限為A。極限不是相等，而是無(wú)限接近。而函數(shù)的極限是指在X0的一個(gè)臨域內(nèi)(不包含X0這一點(diǎn))，如果對(duì)于任意小的正數(shù)E，都存在正數(shù)Q，使所有(X0-Q，X0+Q)內(nèi)的點(diǎn)，都滿足|F(X)-A|《E，則F(X)在X0點(diǎn)的極限為A。很多求極限的題目都可以用極限的定義直接求出。

　　例如F(X)=(X^2-3X+2)/(X-2),

　　X=2不在函數(shù)定義域內(nèi)，但對(duì)于任何X不等于2，F(xiàn)(X)=X-1，因此在X無(wú)限接近2，但不等于2時(shí)，F(xiàn)(X)無(wú)　限接近1，因此F(X)在2處的極限為1。

　　連續(xù)的概念。如果函數(shù)在X0的極限存在，函數(shù)在X0有定義，而且極限值等于函數(shù)值，則稱F(X)在X0點(diǎn)連續(xù)。以上的三個(gè)條件缺一不可。

　　在上例中，F(xiàn)(X)在X=2時(shí)極限存在，但在X=2這一點(diǎn)沒(méi)有定義，所以函數(shù)在X=2不連續(xù);

　　如果我們定義F(2)=1，補(bǔ)上“缺口”，則函數(shù)在X=2變成連續(xù)的;

　　如果我們定義F(2)=3，雖然函數(shù)在X=2時(shí)，極限值和函數(shù)值都存在，但不相等，那么函數(shù)在X=2還是不連續(xù)。

　　由連續(xù)又引出了左極限、右極限和左連續(xù)、右連續(xù)的概念。函數(shù)值等于左極限為左連續(xù)，函數(shù)值等于右極限為右連續(xù)。如果函數(shù)在X0點(diǎn)左右極限都存在，且都等于函數(shù)值，則函數(shù)在X=X0時(shí)連續(xù)。這個(gè)定義是解決分段函數(shù)連續(xù)問(wèn)題的最重要的、幾乎是唯一的方法。

　　如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，在區(qū)間的左右端點(diǎn)分別左右連續(xù)(對(duì)閉區(qū)間而言)，則稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上連續(xù)。

　　導(dǎo)數(shù)的概念。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的變化率，直觀地看是指切線的斜率。略有不同的是，切線可以平行于Y軸，此時(shí)斜率為無(wú)窮大，因此導(dǎo)數(shù)不存在，但切線存在。

　　導(dǎo)數(shù)的求法也是一個(gè)極限的求法。對(duì)于X=X0，在X0附近另找一點(diǎn)X1，求X0與X1連線的斜率。當(dāng)X1無(wú)限靠近X0，但不與X0重合時(shí)，這兩點(diǎn)連線的斜率，就是F(X)在X=X0處的導(dǎo)數(shù)。關(guān)于導(dǎo)數(shù)的題目多數(shù)可用導(dǎo)數(shù)的定義直接解決。教科書(shū)中給出了所有基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，如果自己能用導(dǎo)數(shù)的定義都推導(dǎo)一遍，理解和記憶會(huì)更深刻。其中對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)中用到了重要極限：limx-->0

　　(1+x)^(1/x)=e。

　　導(dǎo)數(shù)同樣分為左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)存在的條件是：F(X)在X=X0連續(xù)，左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。這個(gè)定義是解決分段函數(shù)可導(dǎo)問(wèn)題的最重要的、幾乎是唯一的方法。

　　如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，在區(qū)間的左右端點(diǎn)分別左右導(dǎo)數(shù)存在(對(duì)閉區(qū)間而言)，則稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上可導(dǎo)。

　　復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如f[u(x)]，是集合A中的自變量x，產(chǎn)生微小變化dx，引起集合B中對(duì)應(yīng)數(shù)u的微小變化du，u的變化又引起集合C中的對(duì)應(yīng)數(shù)f(u)的變化，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f’[u(x)]=df(u)/dx=df(u)/du * du/dx=f’(u)*u‘(x)

　　導(dǎo)數(shù)在生活中的例子最常見(jiàn)的是距離與時(shí)間的關(guān)系。物體在極其微小的時(shí)間內(nèi)，移動(dòng)了極其微小的距離，二者的比值就是物體在這一刻的速度。對(duì)于自由落體運(yùn)動(dòng)，下落距離S=1/2gt^2，則物體在時(shí)間t0的速度為V(t0)=[S(t0+a)-S(t0)]/a,

　　當(dāng)a趨近于0時(shí)的值，等于gt0; 而速度隨時(shí)間的增加而增加，變化的比率g稱為加速度。加速度是距離對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。

　　從直觀上看，可導(dǎo)意味著光滑的、沒(méi)有尖角，因?yàn)樵诩饨翘幾笥覍?dǎo)數(shù)不相等。有笑話說(shuō)一位教授對(duì)學(xué)生抱怨道：“這飯館讓人怎么吃飯?你看這碗口，處處不可導(dǎo)!”

　　積分的概念。從面積上理解，積分就是積少成多，把無(wú)限個(gè)面積趨近于0的線條，累積在一起，就成為大于0的面積。我們可以把一塊圖形分割為狹長(zhǎng)的長(zhǎng)方形(長(zhǎng)方形的高度都取函數(shù)在左端或右端的函數(shù)值)，分別計(jì)算各個(gè)長(zhǎng)方形的面積再加總，可近似地得出圖形的面積。當(dāng)我們把長(zhǎng)方形的寬度設(shè)定得越來(lái)越窄，計(jì)算結(jié)果就越來(lái)越精確，與圖形實(shí)際面積的差距越來(lái)越小。如果函數(shù)的積分存在，則長(zhǎng)方形寬度趨近于0時(shí)，求出的長(zhǎng)方形面積總和的極限存在，且等于圖形的實(shí)際面積。這里又是一個(gè)極限的概念。

　　如果函數(shù)存在不連續(xù)的點(diǎn)，但在該點(diǎn)左右極限都存在，函數(shù)仍是可積的。只要間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的，則它們代表的線條面積總和為0，不影響計(jì)算結(jié)果。

　　在廣義積分中，允許函數(shù)在無(wú)限區(qū)間內(nèi)積分，或某些點(diǎn)的函數(shù)值趨向無(wú)窮大，只要積分的極限存在，函數(shù)都是可積的。

　　嚴(yán)格地說(shuō)，我們只會(huì)計(jì)算長(zhǎng)方形的面積。從我們介紹的積分的求法看，我們實(shí)際上是把求面積化為了數(shù)列求和的問(wèn)題，即求數(shù)列的前N項(xiàng)和S(N)，在N趨近于無(wú)窮大時(shí)的極限。很多時(shí)候，求積分和求無(wú)限數(shù)列的和是可以相互轉(zhuǎn)換的。當(dāng)我們深刻地理解了積分的定義和熟練地掌握了積分公式之后，我們同樣可用它來(lái)解決相當(dāng)棘手的數(shù)列求和問(wèn)題。

　　例如：求LIM Nà正無(wú)窮大時(shí)，1/N*[1+1/(1+1/N)+1/(1+2/N)+。。。+1/(1+(N-1)/N)+1/2]的值。

　　看似無(wú)從下手，可當(dāng)我們把它轉(zhuǎn)化為一連串的小長(zhǎng)方形的面積之后，不禁會(huì)恍然大悟：這不是F(X)=1/X在[1，2]上的積分嗎?從而輕松得出結(jié)果為ln2。

　　除了基本的積分公式外，換元法和分步法是常用的積分方法。換元積分法的實(shí)質(zhì)是把原函數(shù)化為形式簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù);分步積分法的要領(lǐng)是：在∫udv=uv-∫vdu中，函數(shù)u微分后應(yīng)該變簡(jiǎn)單(比如次數(shù)降低)，而函數(shù)v積分后不會(huì)變得更復(fù)雜。

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